Hình học không gian Oxyz là một phần kiến thức trọng tâm và không thể thiếu trong chương trình Toán THPT, đặc biệt là trong các kỳ thi Quốc gia. Việc nắm vững lý thuyết và thành thạo các phương pháp giải bài tập không chỉ giúp các em học sinh đạt điểm cao mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích vấn đề.
Bài viết này của Thạch Bích sẽ cùng các em đi sâu vào các dạng bài tập điển hình nhất về hệ tọa độ Oxyz, từ cơ bản đến nâng cao, với lời giải chi tiết và dễ hiểu. Cùng khám phá và chinh phục những thử thách thú vị trong không gian ba chiều nhé!
Hình ảnh trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
Các Dạng Bài Tập Toán Hình Học Không Gian Oxyz Cùng Lời Giải Chi Tiết
Dưới đây là tổng hợp 5 dạng bài tập quan trọng và thường gặp, giúp các em củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
1. Bài Toán Chứng Minh Ba Điểm Tạo Thành Tam Giác và Tính Diện Tích
Câu hỏi 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;0) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
a, Hãy chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác.
b, Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a, Chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác
Để chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác, ta cần chứng minh chúng không thẳng hàng. Điều này có nghĩa là hai vectơ bất kỳ tạo bởi ba điểm đó không cùng phương.
Ta có các vectơ:
$vec{AB} = (0-1; 0-0; 1-0) = (-1; 0; 1)$
$vec{AC} = (2-1; 1-0; 0-0) = (1; 1; 0)$
Để kiểm tra xem $vec{AB}$ và $vec{AC}$ có cùng phương hay không, ta xét tỉ lệ các thành phần của chúng.
Nếu chúng cùng phương thì tồn tại số k sao cho $vec{AB} = k vec{AC}$.
- $-1 = k cdot 1 Rightarrow k = -1$
- $0 = k cdot 1 Rightarrow k = 0$
- $1 = k cdot 0 Rightarrow k$ không xác định.
Các giá trị k mâu thuẫn nhau, do đó không tồn tại số k thỏa mãn.
Vậy, hai vectơ $vec{AB}$ và $vec{AC}$ không cùng phương.
Vì $vec{AB}$ và $vec{AC}$ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng, từ đó chúng tạo thành một tam giác.
b, Tính diện tích tam giác ABC
Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng công thức sử dụng tích có hướng của hai vectơ.
$S_{ABC} = frac{1}{2} |[vec{AB}, vec{AC}]|$
Trước hết, ta tính tích có hướng của $vec{AB}$ và $vec{AC}$:
$[vec{AB}, vec{AC}] = left( begin{vmatrix} 0 & 1 1 & 0 end{vmatrix}; begin{vmatrix} 1 & -1 0 & 1 end{vmatrix}; begin{vmatrix} -1 & 0 1 & 1 end{vmatrix} right) = ((0 cdot 0) – (1 cdot 1); (1 cdot 1) – (-1 cdot 0); (-1 cdot 1) – (0 cdot 1))$
$[vec{AB}, vec{AC}] = (-1; 1; -1)$
Tiếp theo, ta tính độ lớn của vectơ tích có hướng này:
$|[vec{AB}, vec{AC}]| = sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = sqrt{1 + 1 + 1} = sqrt{3}$
Vậy, diện tích tam giác ABC là:
$S_{ABC} = frac{1}{2} cdot sqrt{3} = frac{sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích).
2. Bài Toán Tìm Điểm Trên Mặt Phẳng (Oxy) Để Tổng Vectơ Đạt Giá Trị Nhỏ Nhất
Câu hỏi 2: Cho 3 điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3) và C(4;2;5) trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho $|vec{MA} +vec{MB} + vec{MC}|$ có giá trị nhỏ nhất?
Lời giải:
Theo tính chất của vectơ, ta có thể biến đổi biểu thức $|vec{MA} +vec{MB} + vec{MC}|$.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, ta có đẳng thức vectơ: $vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = vec{0}$.
Ta có:
$vec{MA} + vec{MB} + vec{MC} = (vec{MG} + vec{GA}) + (vec{MG} + vec{GB}) + (vec{MG} + vec{GC})$
$= 3vec{MG} + (vec{GA} + vec{GB} + vec{GC})$
$= 3vec{MG} + vec{0}$
$= 3vec{MG}$
Vậy, biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất trở thành: $|vec{MA} +vec{MB} + vec{MC}| = |3vec{MG}| = 3 cdot MG$.
Để $3 cdot MG$ đạt giá trị nhỏ nhất, thì độ dài đoạn thẳng MG phải nhỏ nhất.
Điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy), và G là một điểm cố định. Khoảng cách MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (Oxy).
Đầu tiên, ta xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
$G = left( frac{x_A+x_B+x_C}{3}; frac{y_A+y_B+y_C}{3}; frac{z_A+z_B+z_C}{3} right)$
$G = left( frac{2+0+4}{3}; frac{-3+4+2}{3}; frac{7-3+5}{3} right)$
$G = left( frac{6}{3}; frac{3}{3}; frac{9}{3} right) = (2; 1; 3)$
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình $z=0$. Hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng (Oxy) sẽ giữ nguyên tọa độ x và y, còn tọa độ z bằng 0.
Vậy, tọa độ điểm M là hình chiếu của G(2; 1; 3) lên mặt phẳng (Oxy) là M(2; 1; 0).
Kết luận: Tọa độ điểm M(2;1;0) thì $|vec{MA} +vec{MB} + vec{MC}|$ có giá trị nhỏ nhất.
3. Bài Toán Tìm Điểm Trên Mặt Phẳng (P) Để Tổng Bình Phương Khoảng Cách Đạt Giá Trị Nhỏ Nhất
Câu hỏi 3: Cho ba điểm A(1;0;1), B(1;2;1), C(4;1;-2) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, và mặt phẳng (P): x + y + z = 0. Trong các điểm (1;1;-1), (1;1;1) , (1;2;-1) , (1;0;-1), điểm nào là điểm M trên (P) thỏa mãn $MA^2+MB^2+MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất?
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Tọa độ trọng tâm G là:
$G = left( frac{1+1+4}{3}; frac{0+2+1}{3}; frac{1+1-2}{3} right)$
$G = left( frac{6}{3}; frac{3}{3}; frac{0}{3} right) = (2; 1; 0)$
Xét biểu thức $T = MA^2+MB^2+MC^2$.
Với mỗi điểm M bất kỳ, ta có:
$vec{MA} = vec{MG} + vec{GA}$
$vec{MB} = vec{MG} + vec{GB}$
$vec{MC} = vec{MG} + vec{GC}$
Do đó:
$MA^2 = |vec{MA}|^2 = (vec{MG} + vec{GA})^2 = MG^2 + GA^2 + 2vec{MG} cdot vec{GA}$
$MB^2 = |vec{MB}|^2 = (vec{MG} + vec{GB})^2 = MG^2 + GB^2 + 2vec{MG} cdot vec{GB}$
$MC^2 = |vec{MC}|^2 = (vec{MG} + vec{GC})^2 = MG^2 + GC^2 + 2vec{MG} cdot vec{GC}$
Cộng ba đẳng thức trên, ta được:
$T = MA^2+MB^2+MC^2 = 3MG^2 + (GA^2+GB^2+GC^2) + 2vec{MG} cdot (vec{GA} + vec{GB} + vec{GC})$
Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nên $vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = vec{0}$.
Vậy, biểu thức T trở thành: $T = 3MG^2 + GA^2+GB^2+GC^2$.
Do $A, B, C$ là các điểm cố định nên $GA^2+GB^2+GC^2$ là một hằng số.
Vì thế, T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $3MG^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, tức là MG đạt giá trị nhỏ nhất.
Mặt khác, M là một điểm thuộc mặt phẳng (P) và G là một điểm cố định. Khoảng cách MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (P).
Ta có G(2; 1; 0) và mặt phẳng (P): x + y + z = 0.
Vectơ pháp tuyến của (P) là $vec{n} = (1; 1; 1)$.
Đường thẳng (d) đi qua G và vuông góc với (P) sẽ có vectơ chỉ phương là $vec{n} = (1; 1; 1)$.
Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
$begin{cases} x = 2 + t y = 1 + t z = 0 + t end{cases}$
Điểm M là giao điểm của (d) và (P). Thay x, y, z từ phương trình (d) vào phương trình (P):
$(2 + t) + (1 + t) + t = 0$
$3 + 3t = 0$
$3t = -3 Rightarrow t = -1$
Thay $t = -1$ vào phương trình tham số của (d) để tìm tọa độ điểm M:
$begin{cases} x_M = 2 + (-1) = 1 y_M = 1 + (-1) = 0 z_M = 0 + (-1) = -1 end{cases}$
Vậy, tọa độ điểm M là (1; 0; -1).
Kiểm tra trong các lựa chọn, điểm (1;0;-1) là điểm thỏa mãn.
4. Bài Toán Tìm Điểm D Để Tạo Thành Hình Thang và Thỏa Mãn Điều Kiện Diện Tích
Câu hỏi 4: Cho ba điểm A(-2;3;1), B(2;1;0) và C(-3;-1;1) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S{ABCD}=3S{Delta ABC}$.
Lời giải:
Vì ABCD là hình thang có đáy AD, điều này có nghĩa là AD song song với BC ($vec{AD} // vec{BC}$).
Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng AD sẽ cùng phương với vectơ $vec{BC}$.
Ta tính vectơ $vec{BC}$:
$vec{BC} = (-3-2; -1-1; 1-0) = (-5; -2; 1)$
Vì $vec{AD} // vec{BC}$, nên $vec{AD} = k cdot vec{BC}$ với k là một số thực khác 0.
Do A(-2;3;1), ta có thể viết phương trình đường thẳng AD (đi qua A và có vectơ chỉ phương $vec{BC}$) dạng tham số:
$begin{cases} x_D = -2 – 5t y_D = 3 – 2t z_D = 1 + t end{cases}$
Vậy, điểm D có tọa độ là D(-5t – 2; -2t + 3; t + 1) với $t ne 0$.
Theo đề bài, $S{ABCD} = 3S{Delta ABC}$.
Diện tích hình thang ABCD có thể chia thành tổng diện tích tam giác ABC và tam giác ACD.
$S{ABCD} = S{Delta ABC} + S{Delta ACD}$
Do đó: $S{Delta ABC} + S{Delta ACD} = 3S{Delta ABC}$
$Rightarrow S{Delta ACD} = 2S{Delta ABC}$
Bây giờ, ta tính diện tích tam giác ABC.
$vec{AB} = (2 – (-2); 1 – 3; 0 – 1) = (4; -2; -1)$
$vec{AC} = (-3 – (-2); -1 – 3; 1 – 1) = (-1; -4; 0)$
Tính tích có hướng của $vec{AB}$ và $vec{AC}$:
$[vec{AB}, vec{AC}] = left( begin{vmatrix} -2 & -1 -4 & 0 end{vmatrix}; begin{vmatrix} -1 & 4 0 & -1 end{vmatrix}; begin{vmatrix} 4 & -2 -1 & -4 end{vmatrix} right)$
$= ((-2 cdot 0) – (-1 cdot -4); (-1 cdot -1) – (4 cdot 0); (4 cdot -4) – (-2 cdot -1))$
$= (-4; 1; -18)$
Độ lớn của tích có hướng:
$|[vec{AB}, vec{AC}]| = sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-18)^2} = sqrt{16 + 1 + 324} = sqrt{341}$
Diện tích tam giác ABC là:
$S_{Delta ABC} = frac{1}{2} |[vec{AB}, vec{AC}]| = frac{sqrt{341}}{2}$
Từ điều kiện $S{Delta ACD} = 2S{Delta ABC}$, ta có:
$S_{Delta ACD} = 2 cdot frac{sqrt{341}}{2} = sqrt{341}$
Tiếp theo, ta tính $S_{Delta ACD}$ theo $t$.
$vec{AD} = (-5t; -2t; t)$
$vec{AC} = (-1; -4; 0)$
Tính tích có hướng của $vec{AD}$ và $vec{AC}$:
$[vec{AD}, vec{AC}] = left( begin{vmatrix} -2t & t -4 & 0 end{vmatrix}; begin{vmatrix} t & -5t 0 & -1 end{vmatrix}; begin{vmatrix} -5t & -2t -1 & -4 end{vmatrix} right)$
$= ((-2t cdot 0) – (t cdot -4); (t cdot -1) – (-5t cdot 0); (-5t cdot -4) – (-2t cdot -1))$
$= (4t; -t; 20t – 2t) = (4t; -t; 18t)$
Độ lớn của tích có hướng:
$|[vec{AD}, vec{AC}]| = sqrt{(4t)^2 + (-t)^2 + (18t)^2} = sqrt{16t^2 + t^2 + 324t^2}$
$= sqrt{341t^2} = |t|sqrt{341}$
Diện tích tam giác ACD là:
$S_{Delta ACD} = frac{1}{2} |[vec{AD}, vec{AC}]| = frac{1}{2} |t|sqrt{341}$
Từ $S_{Delta ACD} = sqrt{341}$, ta có:
$frac{1}{2} |t|sqrt{341} = sqrt{341}$
$frac{1}{2} |t| = 1 Rightarrow |t| = 2$
Vì AD là đáy của hình thang và song song với BC, nên $t ne 0$.
Nếu $t=2$:
$D(-5(2) – 2; -2(2) + 3; 2 + 1) = (-10 – 2; -4 + 3; 3) = (-12; -1; 3)$
Nếu $t=-2$:
$D(-5(-2) – 2; -2(-2) + 3; -2 + 1) = (10 – 2; 4 + 3; -1) = (8; 7; -1)$
Trong hình thang ABCD với AD là đáy, vectơ $vec{AD}$ và $vec{BC}$ phải cùng chiều. Tức là $k > 0$.
Vì $vec{AD} = k cdot vec{BC}$, nếu $vec{AD}$ và $vec{BC}$ cùng chiều, thì $k$ phải dương.
Chúng ta có $vec{AD} = (-5t; -2t; t)$ và $vec{BC} = (-5; -2; 1)$.
Để $vec{AD}$ và $vec{BC}$ cùng chiều, ta cần:
$frac{-5t}{-5} = frac{-2t}{-2} = frac{t}{1} Rightarrow t = t = t$.
Và $t > 0$.
Do đó, ta chọn $t=2$.
Vậy, tọa độ điểm D là (-12; -1; 3).
5. Bài Toán Tìm Điểm N Trên Mặt Phẳng (P) Để Biểu Thức Tổng Bình Phương Khoảng Cách Có Trọng Số Đạt Giá Trị Nhỏ Nhất
Câu hỏi 5: Cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(-2;1;4) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz và mặt phẳng (P): x-y+z+2=0. Biết điểm N $in$ (P). Trong các điểm (-2;0;1), $(frac{4}{3}; 3;frac{3}{2})$, $(frac{1}{2}; 2; 1)$, (-1; 2;1), điểm nào là tọa độ điểm N sao cho $S = 2NA^2+NB^2 + NC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi M(a; b; c) là điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ $2vec{MA}+vec{MB}+vec{MC} = vec{0}$.
Ta có:
$vec{MA} = (1-a; 1-b; 1-c)$
$vec{MB} = (0-a; 1-b; 2-c)$
$vec{MC} = (-2-a; 1-b; 4-c)$
Thay vào đẳng thức vectơ:
$2(1-a; 1-b; 1-c) + (-a; 1-b; 2-c) + (-2-a; 1-b; 4-c) = vec{0}$
$(2-2a – a – 2-a; 2-2b + 1-b + 1-b; 2-2c + 2-c + 4-c) = (0;0;0)$
$(-4a; 4-4b; 8-4c) = (0;0;0)$
Từ đó, ta có hệ phương trình:
$begin{cases} -4a = 0 Rightarrow a = 0 4-4b = 0 Rightarrow 4b = 4 Rightarrow b = 1 8-4c = 0 Rightarrow 4c = 8 Rightarrow c = 2 end{cases}$
Vậy, điểm M có tọa độ là (0; 1; 2).
Bây giờ, ta xét biểu thức $S = 2NA^2+NB^2+NC^2$.
Ta có thể viết:
$NA^2 = |vec{NA}|^2 = |vec{NM} + vec{MA}|^2 = NM^2 + MA^2 + 2vec{NM}cdotvec{MA}$
$NB^2 = |vec{NB}|^2 = |vec{NM} + vec{MB}|^2 = NM^2 + MB^2 + 2vec{NM}cdotvec{MB}$
$NC^2 = |vec{NC}|^2 = |vec{NM} + vec{MC}|^2 = NM^2 + MC^2 + 2vec{NM}cdotvec{MC}$
Thay vào biểu thức S:
$S = 2(NM^2 + MA^2 + 2vec{NM}cdotvec{MA}) + (NM^2 + MB^2 + 2vec{NM}cdotvec{MB}) + (NM^2 + MC^2 + 2vec{NM}cdotvec{MC})$
$S = 4NM^2 + 2MA^2 + MB^2 + MC^2 + 2vec{NM}cdot(2vec{MA} + vec{MB} + vec{MC})$
Vì $2vec{MA}+vec{MB}+vec{MC} = vec{0}$, biểu thức S trở thành:
$S = 4NM^2 + 2MA^2 + MB^2 + MC^2$.
Do A, B, C và M là các điểm cố định, nên $2MA^2 + MB^2 + MC^2$ là một hằng số.
Để S đạt giá trị nhỏ nhất, thì $4NM^2$ phải đạt giá trị nhỏ nhất, tức là NM đạt giá trị nhỏ nhất.
Mặt khác, N là một điểm thuộc mặt phẳng (P) và M là một điểm cố định. Khoảng cách NM nhỏ nhất khi N là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
Ta có M(0; 1; 2) và mặt phẳng (P): x – y + z + 2 = 0.
Vectơ pháp tuyến của (P) là $vec{n} = (1; -1; 1)$.
Đường thẳng MN (đi qua M và vuông góc với (P)) sẽ có vectơ chỉ phương là $vec{n} = (1; -1; 1)$.
Phương trình tham số của đường thẳng MN là:
$begin{cases} x = 0 + t y = 1 – t z = 2 + t end{cases}$
Điểm N là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (P). Thay x, y, z từ phương trình MN vào phương trình (P):
$t – (1 – t) + (2 + t) + 2 = 0$
$t – 1 + t + 2 + t + 2 = 0$
$3t + 3 = 0$
$3t = -3 Rightarrow t = -1$
Thay $t = -1$ vào phương trình tham số của MN để tìm tọa độ điểm N:
$begin{cases} x_N = -1 y_N = 1 – (-1) = 2 z_N = 2 + (-1) = 1 end{cases}$
Vậy, tọa độ điểm N là (-1; 2; 1).
Kiểm tra trong các lựa chọn, điểm (-1; 2; 1) là điểm thỏa mãn.
Kết Luận
Hy vọng với 5 dạng bài tập Toán hình học không gian Oxyz cùng lời giải chi tiết trên, các em đã có thể tự tin hơn trong việc ôn luyện và giải quyết các bài toán liên quan. Việc luyện tập thường xuyên và hiểu rõ bản chất từng dạng bài sẽ là chìa khóa giúp các em chinh phục điểm cao trong các kỳ thi.
Đừng quên kết hợp việc học tập căng thẳng với những giờ phút thư giãn, bổ sung năng lượng cho cơ thể. Một chai Nước khoáng Thạch Bích mát lạnh sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng, giúp bạn tỉnh táo, sảng khoái và tràn đầy khoáng chất thiết yếu. Nước khoáng thiên nhiên Thạch Bích với hàm lượng khoáng tự nhiên, giúp cơ thể cân bằng, hỗ trợ tiêu hóa và duy trì sức khỏe tối ưu để bạn luôn sẵn sàng cho mọi thử thách.
Câu Hỏi Thường Gặp (FAQs)
1. Hệ tọa độ Oxyz là gì?
Hệ tọa độ Oxyz là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian ba chiều, bao gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại gốc tọa độ O. Mỗi điểm trong không gian được xác định bằng ba tọa độ (x; y; z).
2. Công thức tính diện tích tam giác trong Oxyz bằng tích có hướng là gì?
Diện tích tam giác ABC trong không gian Oxyz được tính bằng công thức $S_{ABC} = frac{1}{2} |[vec{AB}, vec{AC}]|$, trong đó $[vec{AB}, vec{AC}]$ là tích có hướng của hai vectơ $vec{AB}$ và $vec{AC}$.
3. Làm thế nào để tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng trong Oxyz?
Để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M lên mặt phẳng (P), ta viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). Vectơ chỉ phương của d chính là vectơ pháp tuyến của (P). Sau đó, tìm giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
4. Khi nào thì ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác trong không gian Oxyz?
Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác khi chúng không thẳng hàng. Điều này có nghĩa là hai vectơ bất kỳ được tạo từ ba điểm đó (ví dụ $vec{AB}$ và $vec{AC}$) không cùng phương.
5. Điểm M nào làm cho tổng bình phương khoảng cách $MA^2+MB^2+MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất?
Điểm M làm cho tổng $MA^2+MB^2+MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất chính là trọng tâm G của tam giác ABC. Nếu M bị ràng buộc trên một mặt phẳng (P), thì M là hình chiếu vuông góc của trọng tâm G lên mặt phẳng (P) đó.
Bài viết liên quan
